（已完结）大物上笔记

大物上本质就是微积分，只不过对微分变量的选取更加讲究。

第五章

电场强度（场强）

求场强（离散型）

求场强（连续型）

常用电场场强

点电荷、带电球壳、带电球体（外）

其中 $\vec{e_{r}}$ 是 $q$ 指向 $P$ 点的单位矢量。

无限长均匀带电直线（或与直线距离很近），半无限长乘1/2

无限大均匀带电平面（或与平面距离很近）

半球壳

高斯定理求场强（对称性）

带电球壳

对于求球壳外的电场，可以将球壳等效为电荷集中在球心处的点电荷进行计算。

无限长柱面

对于求柱面外的电场，可以将球壳等效为无限长均匀带电直线进行计算。

注意结果是匀强电场。一对无限大带电平面就乘2即可。

带电球体

电势

设正电荷为 $q$ ,距离 $r_{p_{1}}$ 处有一点 $p_{1}$ ,电势为 $φ_{1}$ ,距离 $r_{p_{2}}$ 处有一点 $p_{2}$ ,电势为 $φ_{2}$ ,则:

$φ_{a} = \int_{a}^{\infty} \vec{E} \cdot d \vec{l}$ ，通常我们的考试题下 $\vec{E}$ 与 $\vec{l}$ 是同向的，因此可以直接去掉箭头。

电势是标量,可以直接累加.

$A_{12} = W_{1} - W_{2} = \int_{r_{p_{1}}}^{r_{p_{2}}} \vec{F} \cdot d \vec{r} = q \int_{r_{p_{1}}}^{r_{p_{2}}} \vec{E} \cdot d \vec{r}$ $\frac{A_{12}}{q} = φ_{p_{1}} - φ_{p_{2}} = | Δ φ_{p_{1} p_{2}} |$

常用电势

点电荷的电势: $φ = \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{q}{r}$

连续带电体的电势分布: $φ = \frac{1}{4 π ε_{0}} \int \frac{d q}{r}$

带电球壳的内部电势相同(因为内部场强为0),在球壳外,电势与球心距离成反比.

带电 $q$ 细圆环的电势直接将 $r$ 换为 $\sqrt{R^{2} + x^{2}}$ 即可.

用电势求场强

\vec{E} = - \frac{\partial φ}{\partial n} \vec{e_{n}} = - \nabla φ

大部分情况只考虑一元,也就是 $- \frac{d φ}{d n} \vec{e_{n}}$ 的情况.

其中大小为 $| - \frac{d φ}{d n} \vec{e_{n}} | = - \frac{d φ}{d n}$ $, 方向为$ $\vec{e_{n}}$ .

第六章

导体的静电平衡

如果两个带电体相距足够远，可以看作它们电势相等。

如果物体接地，代表物体电势为0，但并不代表物体没有感应电荷。

电容和电容器

首先电容的定义式为 $C = \frac{Q}{U}$ ，跟高中相同。

对于平行板电容器，有电荷面密度 $σ$ ：

U_{A B} = \int_{A}^{B} \vec{E} \cdot d \vec{r} = E d = \frac{σ d}{ε_{0}}

C = \frac{Q}{U_{A B}} = \frac{ε_{0} S}{d}

对于球形电容器，设两球壳分别带电 $\pm q$

U_{A B} = \int_{A}^{B} \vec{E} \cdot d \vec{r} = \int_{R_{1}}^{R_{2}} \frac{q}{4 π ε_{0} r^{2}} d r = \frac{q}{4 π ε_{0}} (\frac{1}{R_{1}} - \frac{1}{R_{2}})

C = \frac{Q}{U_{A B}} = \frac{4 π ε_{0} R_{1} R_{2}}{R_{2} - R_{1}}

特别地，孤立导体球的电容是 $4 π ε_{0} R$ ，即 $R_{2}$ 趋向于正无穷的情况。

电容器串联，等效电容的倒数等于各个电容的倒数和。

电容器并联，等效电容等于各个电容的和。（与电阻相反）

静电场中的电介质

几个新物理量 $\vec{E_{源}}, \vec{E_{新}}, \vec{D}, σ_{0}, \vec{P}, σ^{'}$ 的关系（ $ε_{r}$ 为相对电容率）？

E_{源} = ε_{r} E_{新}

σ_{0} = D = ε_{0} ε_{r} E_{新}

P = (ε_{r} - 1) ε_{0} E_{新}

σ^{'} = \pm P

引进电位移矢量 $\vec{D} = ε_{0} \vec{E} + \vec{P}$ ，有 $\vec{D}$ 的高斯定理 $\oint_{S} \vec{D} \cdot d \vec{S} = Σ q_{0 i}$

注意右侧没有 $\frac{1}{ε_{0}}$

静电能计算

用电势：

W_{e} = \frac{1}{2} Σ q_{i} φ_{i} / \frac{1}{2} \int φ d q, d q = λ d l / σ d S / ρ d V

用能量密度：

w_{e} = \frac{1}{2} ε_{0} E^{2} = \frac{1}{2} ε_{0} ε_{r} E^{2} = \frac{1}{2} D E

W_{e} = \int d w_{e} = \int_{V} W_{e} d V

对于电容器：

W_{e} = \frac{Q^{2}}{2 C} = \frac{1}{2} Q U = \frac{1}{2} C U^{2}

第七章

恒定电流

电流的微分公式 $I = \frac{d q}{d t}$

电流密度 $\vec{j} = n q \vec{u}$

电流连续性方程 $\oint \vec{j} \cdot d \vec{S} = - \frac{d q}{d t} = 0$ （流出），恒定电流

欧姆定律的微分形式 $\vec{j} = γ \vec{E}$

电阻的积分形式 $R = \int_{L} \frac{ρ d l}{s}, ρ = \frac{1}{γ}$

电动势 $ℰ = \int_{-}^{+} \vec{E} \cdot d \vec{l} = \frac{A}{q}, A = \int_{-}^{+} \vec{F} \cdot d \vec{l}, \vec{F} = q \vec{E}$ ，注意这里的力都是非静电力， $ℰ$ 方向为电源负极指向正极。

比奥-萨法尔定律与常用磁场场强(1)

$d B = \frac{μ_{0}}{4 π} \frac{I d \vec{l} \times \vec{e_{r}}}{r^{2}}$ ，其中 $I d \vec{l}$ 为电流元， $\vec{e_{r}}$ 的方向为电流源指向所求点的方向。

$\vec{B} = \int d \vec{B} = \int \frac{μ_{0}}{4 π} \frac{I d \vec{l} \times \vec{e_{r}}}{r^{2}}$

以下为了方便去掉 $B$ 的箭头。

无限长载流导线

$B = \frac{μ_{0} I}{2 π r_{0}}$ ，半无限长就除以2。

载流圆线圈轴线上一点

$B = \frac{μ_{0} I R^{2}}{2 r^{3}}, r = \sqrt{R^{2} + x^{2}}$

当 $x = 0$ 时， $B = \frac{μ_{0} I}{2 R}$

长直密绕螺线管轴线上一点

$B = \frac{μ_{0} n I}{2} (\sin β_{2} - \sin β_{1})$ ，这里的 $β$ 是与y轴正向的夹角。

当螺管无限长， $B = μ_{0} n I$ ，半无限长就除以2。

安培环路定理与常用磁场场强(2)

安培环路定理（类比高斯定理）： $\oint_{L} \vec{B} \cdot d \vec{l} = μ_{0} Σ I_{i n t}$

无限长圆柱体

在圆柱内部： $B = \frac{μ_{0} I r}{2 π R^{2}} = B_{o u t} \frac{r^{2}}{R^{2}}$

在圆柱外部： $B = \frac{μ_{0} I}{2 π r}$

无限长直螺线管&螺绕环

根据安培环路定理，分别取圆形、矩形回路，近似处理后，均可得到：

$B = μ_{0} n I$

其中 $n = \frac{N}{l}$ 或 $n = \frac{N}{2 π r}$ ， $N$ 为线圈匝数。

无限大载流平面

$B = \frac{1}{2} μ_{0} j$

故无限大载流平面的两侧为匀强磁场。

位移电流与全电流

电荷定向移动形成的电流为传导电流 $I_{c}$ ，而变化的电场与位移电流 $I_{d}$ 等价。

位移电流密度： $\vec{j_{d}} = ε_{0} ε_{r} \frac{d \vec{E}}{d t}$

位移电流： $I_{d} = \int_{s} \vec{j_{d}} \cdot d \vec{s} = ε_{0} ε_{r} \frac{d}{d t} \int \vec{E} \cdot d \vec{s} = ε_{0} ε_{r} \frac{d φ_{e}}{d t}$

普遍的安培环路定理： $\oint_{L} \vec{B} \cdot d \vec{l} = μ_{0} (I_{c} + I_{d})$

运动电荷在磁场中受力

洛伦兹力： $\vec{f} = q \vec{v} \times \vec{B}$

匀强磁场中的匀速圆周运动

$R = \frac{m v}{q B}$
$T = \frac{2 π m}{q B}$
螺距 $h = v_{∥} \cos θ$

霍尔效应

霍尔电势差 $U_{H} = κ \frac{B I}{d}$ ，霍尔系数 $κ = \frac{1}{n q}$

N型与P型的判断：（填坑）

载流导线在磁场中受力

非闭合型： $\vec{F} = \int d \vec{F} = \int_{L} I d \vec{l} \times \vec{B}$

闭合型（圆形、矩形）：

磁矩： $\vec{m} = I S \vec{e_{n}}$
磁力矩： $\vec{M} = \vec{m} \times \vec{B}$ （难点在于方向判断）

磁介质

绕核旋转的电子有两个磁矩，一个是“公转”的轨道磁矩，一个是“自转”的自旋磁矩，前者大于后者。

以轨道磁矩为例，可等效为环形电流 $i = \frac{e}{T} = \frac{e ω}{2 π} = \frac{v}{2 π r} e$ ，故磁矩为 $\vec{m} = i S \vec{e_{n}} = - \frac{e r^{2}}{2} \vec{ω}$

引入磁场强度 $\vec{H} = \frac{\vec{B}}{μ_{0}} - \vec{M}$ ，故有磁介质的安培环路定理：

\oint_{L} \vec{H} \cdot d \vec{l} = Σ I_{c}

几个新物理量（以下省略方向）：磁场强度 $H$ ， $B_{新}$ ，磁化强度 $M$ ，电流密度 $j$ 和电流 $I^{'}$ ，在顺磁质下，这五个矢量方向一致。以下是物理量之间的转换关系：

B_{新} = μ_{0} μ_{r} H

M = \frac{μ_{r} - 1}{μ_{0} μ_{r}} B_{新}

j^{'} = \pm M

I^{'} = \int j^{'} d l

第八章

法拉第电磁感应定律

$Φ = B S$

E = - \frac{d Φ}{d t}

负号用楞次定律解释（来拒去留）

感应电流

i = \frac{E}{R} = - \frac{1}{R} \frac{d Φ}{d t}

感应电荷

q = \int_{t_{1}}^{t_{2}} i d t

动生电动势

E = \int_{L} (\vec{v} \times \vec{B}) \cdot d \vec{l}

电动机： $E I d t = I^{2} R d t + I d Φ$ ，其中 $I d Φ$ 为有用功。

法拉第圆盘电动机： $E = \frac{1}{2} B ω R^{2}$ ，方向由中心指向边缘。

$N$ 匝闭合线框旋转： $E = ω N B S \sin ω t$

感生电动势

法拉第实验公式： $E = - \frac{d Φ_{m}}{d t}$

麦克斯韦理论公式： $E = \oint \vec{E_{i}} \cdot d \vec{l}$

变化的磁场激发电场： $\oint \vec{E_{i}} \cdot d \vec{l} = - \int_{S} \frac{d \vec{B}}{d t} \cdot d \vec{S}$

自感与互感

都是先找磁通量的表达式
电流前面的系数就是 $L$ 或者 $M$
磁通量对时间的一阶导数就是 $E_{L}$ 或者 $E_{M}$

自感

Ψ_{m} = N Φ_{m} = L I

E_{L} = - \frac{d Ψ_{m}}{d t} = - L \frac{d I}{d t}

互感

Ψ_{m 2} = N Φ_{m} = M I_{1}

E_{2} = - \frac{d Ψ_{m 2}}{d t} = - M \frac{d I_{1}}{d t}

M = \sqrt{L_{1} L_{2}}

能量

能量密度 $w_{m} = \frac{1}{2 μ_{0} μ_{r}} B^{2} = \frac{1}{2} B H$

总能量 $W_{m} = \int w_{m} d V$

对RL回路：

\int_{0}^{\infty} E_{i} i d t = \int_{0}^{\infty} E_{L} i d t + \int_{0}^{\infty} R i^{2} d t

（电源的总能量=自感获得的能量+电阻消耗的能量）

麦克斯韦方程组

\oint \vec{D} \cdot d \vec{S} = Σ q_{0}

\oint \vec{E} \cdot d \vec{l} = - \int \frac{d \vec{B}}{d t} \cdot d \vec{S}

\oint \vec{B} \cdot d \vec{S} = 0

\oint \vec{H} \cdot d \vec{l} = Σ i_{c} + \int \frac{d \vec{D}}{d t} \cdot d \vec{S}

其中

\vec{D} = ε_{0} ε_{r} \vec{E}

\vec{H} = \frac{1}{ε_{0} ε_{r}} \vec{B}

\vec{j} = γ \vec{E}