（已完结）大物上笔记

大物上本质就是微积分，只不过对微分变量的选取更加讲究。

第五章

电场强度（场强）

求场强（离散型）

求场强（连续型）

常用电场场强

点电荷、带电球壳、带电球体（外）

其中$\overrightarrow{e_r}$是$q$指向$P$点的单位矢量。

无限长均匀带电直线（或与直线距离很近），半无限长乘1/2

无限大均匀带电平面（或与平面距离很近）

半球壳

高斯定理求场强（对称性）

带电球壳

对于求球壳外的电场，可以将球壳等效为电荷集中在球心处的点电荷进行计算。

无限长柱面

对于求柱面外的电场，可以将球壳等效为无限长均匀带电直线进行计算。

注意结果是匀强电场。一对无限大带电平面就乘2即可。

带电球体

电势

设正电荷为$q$,距离$r_{p_1}$处有一点$p_1$,电势为${\phi }_1$,距离$r_{p_2}$处有一点$p_2$,电势为${\phi }_2$,则:

${\phi }_a={\int }_a^{\mathrm{\infty }}\overrightarrow{E}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{l}$，通常我们的考试题下$\overrightarrow{E}$与$\overrightarrow{l}$是同向的，因此可以直接去掉箭头。

电势是标量,可以直接累加.

$$A_{12}=W_1-W_2={\int }_{r_{p_1}}^{r_{p_2}}\overrightarrow{F}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{r}=q{\int }_{r_{p_1}}^{r_{p_2}}\overrightarrow{E}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{r}$$$$\frac{A_{12}}{q}={\phi }_{p_1}-{\phi }_{p_2}=|\mathrm{\Delta }{\phi }_{p_1{p}_2}|$$

常用电势

点电荷的电势: $\phi =\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{r}$

连续带电体的电势分布: $\phi =\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\int \frac{\mathrm{d}q}{r}$

带电球壳的内部电势相同(因为内部场强为0),在球壳外,电势与球心距离成反比.

带电$q$细圆环的电势直接将$r$换为$\sqrt{R^2+x^2}$即可.

用电势求场强

$$\overrightarrow{E}=-\frac{\partial \phi }{\partial n}\overrightarrow{e_n}=-\mathrm{\nabla }\phi$$

大部分情况只考虑一元,也就是$-\frac{\mathrm{d}\phi }{\mathrm{d}n}\overrightarrow{e_n}$的情况.

其中大小为$|-\frac{\mathrm{d}\phi }{\mathrm{d}n}\overrightarrow{e_n}|=-\frac{\mathrm{d}\phi }{\mathrm{d}n}$$,\mathrm{方}\mathrm{向}\mathrm{为}$$\overrightarrow{e_n}$.

第六章

导体的静电平衡

如果两个带电体相距足够远，可以看作它们电势相等。

如果物体接地，代表物体电势为0，但并不代表物体没有感应电荷。

电容和电容器

首先电容的定义式为$C=\frac{Q}{U}$，跟高中相同。

对于平行板电容器，有电荷面密度$\sigma$：

$$U_{AB}={\int }_A^B\overrightarrow{E}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{r}=Ed=\frac{\sigma d}{{\epsilon }_0}$$$$C=\frac{Q}{U_{AB}}=\frac{{\epsilon }_{0}S}{d}$$

对于球形电容器，设两球壳分别带电$\pm q$

$$U_{AB}={\int }_A^B\overrightarrow{E}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{r}={\int }_{R_1}^{R_2}\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}\mathrm{d}r=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0}(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2})$$$$C=\frac{Q}{U_{AB}}=\frac{4\pi {\epsilon }_0{R}_1{R}_2}{R_2-R_1}$$

特别地，孤立导体球的电容是$4\pi {\epsilon }_{0}R$，即$R_2$趋向于正无穷的情况。

电容器串联，等效电容的倒数等于各个电容的倒数和。

电容器并联，等效电容等于各个电容的和。（与电阻相反）

静电场中的电介质

几个新物理量$\overrightarrow{E_{\mathrm{源}}},\overrightarrow{E_{\mathrm{新}}},\overrightarrow{D},{\sigma }_0,\overrightarrow{P},{\sigma }^{\prime }$的关系（${\epsilon }_r$为相对电容率）？

$$E_{\mathrm{源}}={\epsilon }_r{E}_{\mathrm{新}}$$$${\sigma }_0=D={\epsilon }_0{\epsilon }_r{E}_{\mathrm{新}}$$$$P=({\epsilon }_r-1){\epsilon }_0{E}_{\mathrm{新}}$$$${\sigma }^{\prime }=\pm P$$

引进电位移矢量$\overrightarrow{D}={\epsilon }_0\overrightarrow{E}+\overrightarrow{P}$，有$\overrightarrow{D}$的高斯定理${\oint }_S\overrightarrow{D}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{S}=\mathrm{\Sigma }{q}_{0i}$

注意右侧没有$\frac{1}{{\epsilon }_0}$

静电能计算

• 用电势：

$$W_e=\frac{1}{2}\mathrm{\Sigma }{q}_i{\phi }_i/\frac{1}{2}\int \phi \mathrm{d}q,\mathrm{d}q=\lambda \mathrm{d}l/\sigma \mathrm{d}S/\rho \mathrm{d}V$$

• 用能量密度：

$$w_e=\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^2=\frac{1}{2}{\epsilon }_0{\epsilon }_r{E}^2=\frac{1}{2}DE$$$$W_e=\int \mathrm{d}{w}_e={\int }_V{W}_e\mathrm{d}V$$

• 对于电容器：

$$W_e=\frac{Q^2}{2C}=\frac{1}{2}QU=\frac{1}{2}C{U}^2$$

第七章

恒定电流

电流的微分公式$I=\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}$

电流密度$\overrightarrow{j}=nq\overrightarrow{u}$

电流连续性方程$\oint \overrightarrow{j}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{S}=-\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}=0$（流出），恒定电流

欧姆定律的微分形式$\overrightarrow{j}=\gamma \overrightarrow{E}$

电阻的积分形式$R={\int }_L\frac{\rho \mathrm{d}l}{s},\rho =\frac{1}{\gamma }$

电动势$ℰ={\int }_{-}^{+}\overrightarrow{E}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{l}=\frac{A}{q},A={\int }_{-}^{+}\overrightarrow{F}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{l},\overrightarrow{F}=q\overrightarrow{E}$，注意这里的力都是非静电力，$ℰ$方向为电源负极指向正极。

比奥-萨法尔定律与常用磁场场强(1)

$\mathrm{d}B=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{I\mathrm{d}\overrightarrow{l}\times \overrightarrow{e_r}}{r^2}$，其中$I\mathrm{d}\overrightarrow{l}$为电流元，$\overrightarrow{e_r}$的方向为电流源指向所求点的方向。

$\overrightarrow{B}=\int \mathrm{d}\overrightarrow{B}=\int \frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{I\mathrm{d}\overrightarrow{l}\times \overrightarrow{e_r}}{r^2}$

以下为了方便去掉$B$的箭头。

无限长载流导线

$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r_0}$，半无限长就除以2。

载流圆线圈轴线上一点

$B=\frac{{\mu }_{0}I{R}^2}{2r^3},r=\sqrt{R^2+x^2}$

当$x=0$时，$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2R}$

长直密绕螺线管轴线上一点

$B=\frac{{\mu }_{0}nI}{2}(\sin {\beta }_2-\sin {\beta }_1)$，这里的$\beta$是与y轴正向的夹角。

当螺管无限长，$B={\mu }_{0}nI$，半无限长就除以2。

安培环路定理与常用磁场场强(2)

安培环路定理（类比高斯定理）：${\oint }_L\overrightarrow{B}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{l}={\mu }_0\mathrm{\Sigma }{I}_{int}$

无限长圆柱体

在圆柱内部：$B=\frac{{\mu }_{0}Ir}{2\pi R^2}=B_{out}\frac{r^2}{R^2}$

在圆柱外部：$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}$

无限长直螺线管&螺绕环

根据安培环路定理，分别取圆形、矩形回路，近似处理后，均可得到：

$B={\mu }_{0}nI$

其中$n=\frac{N}{l}$或$n=\frac{N}{2\pi r}$，$N$为线圈匝数。

无限大载流平面

$B=\frac{1}{2}{\mu }_{0}j$

故无限大载流平面的两侧为匀强磁场。

位移电流与全电流

电荷定向移动形成的电流为传导电流$I_c$，而变化的电场与位移电流$I_d$等价。

位移电流密度：$\overrightarrow{j_d}={\epsilon }_0{\epsilon }_r\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{E}}{\mathrm{d}t}$

位移电流：$I_d={\int }_s\overrightarrow{j_d}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{s}={\epsilon }_0{\epsilon }_r\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int \overrightarrow{E}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{s}={\epsilon }_0{\epsilon }_r\frac{\mathrm{d}{\phi }_e}{\mathrm{d}t}$

普遍的安培环路定理：${\oint }_L\overrightarrow{B}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{l}={\mu }_0(I_c+I_d)$

运动电荷在磁场中受力

洛伦兹力：$\overrightarrow{f}=q\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}$

匀强磁场中的匀速圆周运动

• $R=\frac{mv}{qB}$
• $T=\frac{2\pi m}{qB}$
• 螺距$h=v_{\parallel }\cos \theta$

霍尔效应

霍尔电势差$U_H=\kappa \frac{BI}{d}$，霍尔系数$\kappa =\frac{1}{nq}$

N型与P型的判断：（填坑）

载流导线在磁场中受力

非闭合型：$\overrightarrow{F}=\int \mathrm{d}\overrightarrow{F}={\int }_{L}I\mathrm{d}\overrightarrow{l}\times \overrightarrow{B}$

闭合型（圆形、矩形）：

• 磁矩：$\overrightarrow{m}=IS\overrightarrow{e_n}$
• 磁力矩：$\overrightarrow{M}=\overrightarrow{m}\times \overrightarrow{B}$（难点在于方向判断）

磁介质

绕核旋转的电子有两个磁矩，一个是“公转”的轨道磁矩，一个是“自转”的自旋磁矩，前者大于后者。

以轨道磁矩为例，可等效为环形电流$i=\frac{e}{T}=\frac{e\omega }{2\pi }=\frac{v}{2\pi r}e$，故磁矩为$\overrightarrow{m}=iS\overrightarrow{e_n}=-\frac{e{r}^2}{2}\overrightarrow{\omega }$

引入磁场强度$\overrightarrow{H}=\frac{\overrightarrow{B}}{{\mu }_0}-\overrightarrow{M}$，故有磁介质的安培环路定理：

$${\oint }_L\overrightarrow{H}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{l}=\mathrm{\Sigma }{I}_c$$

几个新物理量（以下省略方向）：磁场强度$H$，$B_{\mathrm{新}}$，磁化强度$M$，电流密度$j$和电流$I^{\prime }$，在顺磁质下，这五个矢量方向一致。以下是物理量之间的转换关系：

$$B_{\mathrm{新}}={\mu }_0{\mu }_{r}H$$$$M=\frac{{\mu }_r-1}{{\mu }_0{\mu }_r}{B}_{\mathrm{新}}$$$$j^{\prime }=\pm M$$$$I^{\prime }=\int j^{\prime }\mathrm{d}l$$

第八章

法拉第电磁感应定律

$\mathrm{\Phi }=BS$

$$\mathcal{E}=-\frac{\mathrm{d}\mathrm{\Phi }}{\mathrm{d}t}$$

负号用楞次定律解释（来拒去留）

感应电流

$$i=\frac{\mathcal{E}}{R}=-\frac{1}{R}\frac{\mathrm{d}\mathrm{\Phi }}{\mathrm{d}t}$$

感应电荷

$$q={\int }_{t_1}^{t_2}i\mathrm{d}t$$

动生电动势

$$\mathcal{E}={\int }_L(\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B})\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{l}$$

电动机：$\mathcal{E}I\mathrm{d}t=I^{2}R\mathrm{d}t+I\mathrm{d}\mathrm{\Phi }$，其中$I\mathrm{d}\mathrm{\Phi }$为有用功。

法拉第圆盘电动机：$\mathcal{E}=\frac{1}{2}B\omega R^2$，方向由中心指向边缘。

$N$匝闭合线框旋转：$\mathcal{E}=\omega NBS\sin \omega t$

感生电动势

法拉第实验公式：$\mathcal{E}=-\frac{\mathrm{d}{\mathrm{\Phi }}_m}{\mathrm{d}t}$

麦克斯韦理论公式：$\mathcal{E}=\oint \overrightarrow{E_i}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{l}$

变化的磁场激发电场：$\oint \overrightarrow{E_i}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{l}=-{\int }_S\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{B}}{\mathrm{d}t}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{S}$

自感与互感

1. 都是先找磁通量的表达式
2. 电流前面的系数就是$L$或者$M$
3. 磁通量对时间的一阶导数就是${\mathcal{E}}_L$或者${\mathcal{E}}_M$

自感

$${\mathrm{\Psi }}_m=N{\mathrm{\Phi }}_m=LI$$$${\mathcal{E}}_L=-\frac{\mathrm{d}{\mathrm{\Psi }}_m}{\mathrm{d}t}=-L\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}$$

互感

$${\mathrm{\Psi }}_{m2}=N{\mathrm{\Phi }}_m=M{I}_1$$$${\mathcal{E}}_2=-\frac{\mathrm{d}{\mathrm{\Psi }}_{m2}}{\mathrm{d}t}=-M\frac{\mathrm{d}{I}_1}{\mathrm{d}t}$$$$M=\sqrt{L_1{L}_2}$$

能量

能量密度$w_m=\frac{1}{2{\mu }_0{\mu }_r}{B}^2=\frac{1}{2}BH$

总能量$W_m=\int w_m\mathrm{d}V$

对RL回路：

$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\mathcal{E}}_{i}i\mathrm{d}t={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\mathcal{E}}_{L}i\mathrm{d}t+{\int }_0^{\mathrm{\infty }}R{i}^2\mathrm{d}t$$

（电源的总能量=自感获得的能量+电阻消耗的能量）

麦克斯韦方程组

$$\oint \overrightarrow{D}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{S}=\mathrm{\Sigma }{q}_0$$$$\oint \overrightarrow{E}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{l}=-\int \frac{\mathrm{d}\overrightarrow{B}}{\mathrm{d}t}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{S}$$$$\oint \overrightarrow{B}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{S}=0$$$$\oint \overrightarrow{H}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{l}=\mathrm{\Sigma }{i}_c+\int \frac{\mathrm{d}\overrightarrow{D}}{\mathrm{d}t}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{S}$$

其中

$$\overrightarrow{D}={\epsilon }_0{\epsilon }_r\overrightarrow{E}$$$$\overrightarrow{H}=\frac{1}{{\epsilon }_0{\epsilon }_r}\overrightarrow{B}$$$$\overrightarrow{j}=\gamma \overrightarrow{E}$$