（已完结）概统笔记

顺便用作练习.

成绩分布

卷面成绩：50%

平时成绩：50%

• 平时作业
• 期中+小测
• 非标
• 随堂表现

特点

• 理解性、记忆性

• 微积分功底

• 题型固定

概率部分

概率论基础

用等表示事件

表示A的对立事件（对立是互斥的充分条件）

发生B后再发生A的概率，其中

全概率公式：设为完备事件组，则

贝叶斯公式：设为完备事件组，则，即贝叶斯公式是乘法公式与全概率公式的组合。

若，则独立，同时、、也独立。

二项分布概率：

多项分布：某随机实验如果有种可能的结果，它们出现的概率是。在N随机试验的结果中，分别将的出现次数记为随机变量，那么出现次、出现次……出现次这种事件发生的概率是

随机变量及其分布（背）

随机变量是一个函数，其中是样本空间，是样本空间到实数的映射。

分布函数，其定义域为，非严格单增（左极限为0，右极限为1），右连续。

密度函数 满足

当连续时，可简化为。有且.

求概率的问题可以转化为概率密度函数的积分：.

非连续分布

几何分布与超几何分布略去.

二项分布:,

二项分布的图像是单峰的,由于

,故最靠近时易得最值.

泊松分布:,

泊松分布相当于对的泰勒展开各项之和归一化.

泊松定理:二项分布以泊松分布为极限分布.具体而言, 对于,当n足够大时(>=100),我们可以近似把它看作,其中

连续分布

均匀分布(uniform distribution)

指数分布(exponential)

伽马分布(gamma distribution)

随机变量函数的分布Y=f(X)型题目的做法

以求密度函数为例:

• 求出对应的值域
• 将用解出,把替换成
• 对求导得到

对于某些需要分类讨论的题目:

• 求出对应的值域,并找到分段点
• 在该区间内解不等式,解得,解
• 对求导得到,汇总结果

注意求积分时需要注意一下分布函数的连续性.

多（二）维随机变量及其分布

二维离散型随机变量分布

就是一个所有项和为1的表，没啥说的，求概率就是把对应位置的概率加起来就行。

边缘分布：

条件分布律：

二维连续型随机变量分布

相当于求二重积分，需要注意积分的定义域。

通常会利用定义域内积分和为1的性质求参数，然后重新求指定区域的二重积分来求概率。

二维分布函数与密度函数：

边缘密度：

条件分布函数：

• （另一半懒得写了）

常见题型：

一个密度、两个条件、两个边缘

• 已知一个密度，求剩下四个。
• 已知一个条件与对应的边缘，求剩下三个。

已知二维密度函数，，求的密度函数

• 确定的有效区间
• 计算，注意分类讨论
• 对求导得到密度函数

卷积再见

若且独立，则

若且独立，则

数学期望

数学期望的定义

离散变量的期望：

连续变量的期望：

当级数的和（或积分）绝对收敛时，数学期望存在。

对于二维的情况，还可以这样算:

随机变量函数的期望

数学期望的性质

若与独立，则

方差

方差的定义

设，

标准差为

方差的性质

当独立时，

当独立时，

，但这不意味着（同：概率为1的事件不一定是必然事件）

变异系数：

常见分布的期望与方差（背）

原点矩与中心矩

因此方差是二阶中心矩。

协方差与相关系数

协方差的定义

证明与方差类似，此略

协方差的性质

若与独立，则

证明：显然由期望的性质可得。

由此可证若与独立，

随机变量的标准化

其期望为0，方差为1，没有量纲。

相关系数的定义（背）

相关系数

显然不能为常数

相关系数需要计算五个期望：

即

相关系数的性质

当时，，即正相关。

当时，，即负相关。

表明不相关，是独立的必要条件。

如果要证明不独立，应选取合适的区间，使

正态分布

标准正态分布

偶函数，钟形曲线。

考试算概率时经常用这两个性质，并且应保留而不是作为答案（或查表）。

正态分布

因，则，故

求导可得

关系到图象的左右平移（期望），关系到图象“尖”的程度（标准差）。

多个独立正态分布的线性组合还是正态分布。

特别的，如果它们都是，其平均值为

二维正态分布

特殊情况：

一般情况（含相关系数）：

对二维正态分布而言，其边缘分布与条件分布是正态分布。同时，不相关与独立性是等价的。

自然指数分布族

常见分布中除了均匀分布均可化成这种形式。

其均值参数（期望）为,方差函数为

极限定理

切比雪夫不等式

大数律

随机变量序列，考虑均值，

若 ，则服从大数律。

• 切比雪夫大数律：

充要条件是随机变量的方差一致有界，即有常数，使 即可满足符合大数律。

• 独立同分布大数律：

只要独立同分布，且，即可保证符合大数律。

• 伯努利大数律：

，则

中心极限定理

独立同分布，则 近似服从正态分布。

可得近似服从，近似服从

设，若

即近似服从

统计部分

常见分布

卡方分布——正态平方和

正态分布的平方和。

服从自由度为的分布，即

，故

卡方分布满足可加性。

t分布——正态比一个数

分布与正态分布相似，但尾巴比正态分布更厚。

F分布——正态平方和相比

常见统计量

样本均值

样本方差

（注意是n-1，不是n）

抽样分布定理

其一（已知方差）

样本来自，则

且与独立。

其二（已知均值）

样本来自，则

其三（多个整体）

概统成功变成了文科

若则，

> 其中

若则，

点估计

矩估计

设样本均值与期望函数（也可以是平方期望）相等，把期望函数的参数用期望值表示得到，然后将代入得到。

极大似然估计

离散型：写出观测事件发生概率关于参数的函数（通常是某种离散分布的乘积），假设该函数为函数的最大值。通过求解对数极大似然方程的解得到对应的参数.

连续型：取的函数应为，注意这里把按常数看待，以下步骤相同。

极大似然估计值是的最大值，极大似然估计量是的最大值。

估计量评选标准

无偏估计量：估计值的平均值，反之为有偏估计量。

渐进无偏估计量：

有效性标准：若则比更有效。

一致性标准： 则称为是的一致估计量。

均方误差标准：则在均方误差下比更有效。

具体而言，在均方误差下比更有效。

区间估计（背）

只针对正态分布

双侧置信

估计的的置信区间。

若已知，则为

若未知，则为

估计的的置信区间。

单侧置信

估计的的置信区间。

若已知，则单侧置信下限为，上限为

若未知，则单侧置信下限为，上限为

估计的的置信区间。

单侧置信下限为，上限为

假设检验

过程

带有概率性质的反证法

1. 先写出原假设和备择假设。
2. 在成立的前提下，构造样本满足的分布。
3. 通过的值求出对应的拒绝域。
4. 代入观测值，如果，就拒绝原假设。

弃真取伪及概率计算

• 弃真：成立时，样本值。
• 取伪：成立时，样本值。

第一类错误的概率小于等于。

第二类错误的概率为。

与不能同时减小。但可以通过固定其中一个，增加样本量，减小另一个。具体减小哪一个取决于后果的严重程度。